En mathématiques, le code de Goppa, aussi appelé code de géométrie algébrique, est une généralisation d'un Code linéaire construit à partir d'une Courbe algébrique C sur un Corps fini F. De tels codes ont été proposés par V. D. Goppa. Certains de ces codes ont d'intéressantes propriétés extrémales.

Détails

Notions préliminaires

Posons C une courbe algébrique non-singulière. Fixons n points de C:

P ₁ , P ₂ , ..., P _n ~

et soit D, un diviseur de C, sur F.

Il existe un sous-espace de dimension finie L (D) du corps de fonctions de C, qui est constitué des fonctions rationnelles f sur C avec des zéros et pôles sujets à D. Autrement dit, D qui est une somme formelle de points de C sur la Clôture algébrique de F, donne une borne pour le diviseur, faite de zéros et de pôles de f, énumérés avec la multiplicité appropriée.

Définition du code de Goppa

Alors, pour une base fixe:

f ₁ , f ₂ , ..., f _k ~

pour L (D) sur F, le code de Goppa correspondant dans F est généré sur F par les vecteurs

f _i (P ₁ ), f _i (P ₂ ), ..., f _i (P _n )~

De façon équivalente, on peut définir le code de Goppa comme l'ensemble de tous les vecteurs

f (P ₁ ), f (P ₂ ), ..., f (P _n )~

où f est dans L (D).

Utilisation

Les codes de Goppa ont fait une apparition marginale en Cryptographie dans le cryptosystème de McEliece.

Généralements, les codes de Goppa sont considérés comme de « bons » codes linéaires puisqu'ils permettent de corriger jusqu'à {n ^k } ¦ { log ₂ n } erreurs. Aussi, ils se décodent efficacement, par les algorithmes d'Euclide et de Berlekamp-Massey, en particulier.

Bibliographie

• V.D. Goppa. Codes associated with divisors, Problems of Information Transmission, 12(1):22--27, 1977.

Note: read (x ¦ y) as

(

x y

)